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Forums > Algèbre > Discussion
Envoyé par TheMigou 
Module de type fini et sous-module
il y a sept années
Membre depuis : il y a huit années
Messages: 38
Bonjour,

Quelqu'un a-t-il un exemple de Module (sur un Anneau non principal) de type fini dont un sous-module ne soit pas de type fini ?

Merci d'avance
Bonjour

Soit A l'anneau des polynômes $K[X_1,...,X_n,...]$ ou K est un corps commutatif. Ce sont des braves polynômes, chacun somme finie de monômes, donc chacun en un nombre fini d'indéterminées. A est bien sur de type fini comme A-module! Regarde le sous-module $\{P\in A|P(0)=0\}$
Re: Module de type fini et sous-module
il y a sept années
Membre depuis : il y a neuf années
Messages: 4 753
@Magnolia : A n'est pas de type fini
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Re: Module de type fini et sous-module
il y a sept années
Membre depuis : il y a sept années
Messages: 2 703
Sur lui-même! HommeManteau Parka À Homme Camel Vêtements Capuche PXZOiTku
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Re: Module de type fini et sous-module
il y a sept années
Membre depuis : il y a neuf années
Messages: 4 753
Oui, bien sûr.
c'est quasiment la définition d'un anneau noethérien en maths classiques:
un anneau est noethérien ssi les sous-modules des modules de type fini sont de type fini

l'exemple de zephyr est avec l'anneau non noethérien "le plus simple" auquel on pense

mais il y a aussi l'anneau des polynômes a valeurs entières, qui est beaucoup plus mignon (un brave sous anneau squeezé entre Z[X] et Q[X]

on peut certainement demander à Leon1789 un idéal de cet anneau qui n'est pas de type fini

Note constructive:
D'un point de vue constructif, la phrase "tout idéal est de type fini" est difficile à admettre
car la classe des idéaux ne forme pas a priori un ensemble,
mais si on admet cette phrase, le seul anneau connu qui possède la propriété de façon constructive est l'anneau trivial,
car lorsqu'on dit qu'un idéal est de type fini, constructivement on demande un système fini de générateurs explicite,
Or dès qu'un anneau a au moins deux éléments on peut fabriquer un idéal qui hésite entre 0 et 1 pour lequel il est déraisonnable de penser que l'on puisse exhiber un système générateur fini
Aussi Richman et Seidenberg ont proposé une définition raisonnable (du point de vue constructif) équivalente à la définition usuelle en maths classiques, qui est:
toute suite croissante d'idéaux de type fini admet deux termes consécutifs égaux
Re: Module de type fini et sous-module
il y a sept années
Membre depuis : il y a huit années
Messages: 38
Merci à Magnolia pour cet exemple effectivement très simple.

Sur le post de Lombardi, 2 questions :
- l'anneau des polynômes à valeurs entières ne me semble pas de type fini, ou alors c'est à nouveau en tant que module sur lui-même comme sur l'exemple précédent ?
- sur le point de vue constructif : pourquoi la classe des idéaux d'un anneau ne serait pas un ensemble ? C'est un élément de P(P(A)).
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Re: Module de type fini et sous-module
il y a sept années
Membre depuis : il y a douze années
HommeManteau Parka À Homme Camel Vêtements Capuche PXZOiTku Messages: 39 653
Si j'ai compris, dans un autre fil, HL disait que le point de vue constructiviste refuse l'axiome de passage à l'ensemble des parties (je ne sais pas si ça s'applique ici par contre, n'ayant que lu en diagonale)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi ...... Cliquez sur cet implicite, pour économiser
@TheMigou

Sur le post de Lombardi, 2 questions :
- l'anneau des polynômes à valeurs entières ne me semble pas de type fini, ou alors c'est à nouveau en tant que module sur lui-même comme sur l'exemple précédent ?
- sur le point de vue constructif : pourquoi la classe des idéaux d'un anneau ne serait pas un ensemble ? C'est un élément de P(P(A)).


réponse:
premier point
un anneau de type fini est toujours un quotient d'un Z[x1,...,xn] donc noethérien (y compris pour la définition constructive à la Richman-Seidenberg)
l'anneau E des pols à valeurs entières n'est pas de type fini (en tant qu'anneau) mais cela ne suffit pas à en faire un anneau non noethérien, par exemple Q n'est pas un anneau de type fini
par contre tout anneau A est toujours en tant que A-module engendré par l'unique élément 1

deuxième point
la classe Omega des parties de l'ensemble à un élément J = {1} n'est autre que la classe des valeurs de vérité:
étant donnée une proposition P qui ne dépend d'aucun paramètre (et qui donc en maths classiques est considérée comme nécessairement vraie ou fausse",
(la partie { x in J | P } de J est "la valeur de vérité de P", si c'est l'ensemble vide, P est fausse, si c'est J, P est vraie)
en maths constructives, la vérité aussi doit être construite

formellement, la classe des valeurs de vérité, munie des connecteurs "et", "ou", "implique" et des constantes "Vrai", "Faux" obéit aux axiomes d'une algèbre de Heyting (ce serait une algèbre de Heyting si c'était un ensemble)
le fait que l'algèbre de Heyting librement engendrée par un élément est infinie donne une faible idée de la complexité de la classe Omega

cependant, ce n'est pas une raison pour se dire que "les maths constructives c'est horriblement compliqué",

c'est simplement un peu déroutant quand on a été gavé au tiers exclu pendant toute son université,

en pratique traiter un pb de maths constructivement c'est en général aussi simple et élégant que le traiter avec le tiers exclu (ie en supposant Omega réduit à Vrai,Faux)
encore faut-il un peu "pratiquer" la chose
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